Random Infinite Squarings of Rectangles

A recent publication [1] introduced a growth procedure for planar maps, whose almost sure limit is “the uniform infinite 3-connected planar map”. A classical construction of Brooks, Smith, Stone and Tutte [7] associates a squaring of a rectangle (i.e. a tiling of a rectangle by squares) to any finite, edge-rooted planar map with nonseparating root edge. We use this construction together with the map growth procedure to define a growing sequence of squarings of rectangles. We prove that the sequence of squarings converges to an almost sure limit: a random infinite squaring of a finite rectangle. This provides a canonical planar embedding of the uniform infinite 3-connected planar map. We also show that the limiting random squaring almost surely has a unique point of accumulation. Un papier récément publié [1] introduit une procédure pour générer une suite de cartes aléatoires qui a presque surement comme limite la “carte 3-connexe infinie uniform”. La construction classique de Brooks, Smith, Stone et Tutte [7] associe à chaque carte fini, avec une arête racine qui n’est pas un isthme, un rectangle pavé par des carrés. Nous utilisons ces deux procédures à fin de générer une suite aléatoire de rectangles pavé par des carrés. Nous démontrons que cette suite a presque surement une limite qui est un rectangle aléatoire infiniment pavé par des carrés, et que cet objet a presque surement un seul point d’accumulation. Ceci fournit un plongement canonique de la carte 3-connexe infinie uniform dans le plan. (a) A random squaring of a rectangle with 6345 squares. (b) A magnification of a small region within the same squaring. Date: January 24, 2015.